Pascal Üçgeni
Bir satır numarası girin; Pascal üçgenini 0. satırdan o satıra kadar tablo hâlinde, (a + b)ⁿ açılımını ve satırın binom katsayılarını görün. 30. satıra kadar.
- Terim sayısı (n + 1)6
- En büyük katsayı10
- Tek katsayı sayısı4
- Çapraz toplam (Fibonacci F6)8
Pascal üçgeni (0–5. satırlar)
Nasıl hesaplanır?
Pascal üçgeni, binom katsayılarının üçgen biçiminde dizilişidir. n. satırdaki k. sayı, n elemandan k tanesini seçmenin yolunu (kombinasyon) sayar. Satır toplamları 2’nin kuvvetleridir; sola yaslanmış üçgende çapraz toplamlar Fibonacci dizisini (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) verir; tek sayılar boyandığında Sierpinski üçgeni ortaya çıkar.
C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k) · (a + b)ⁿ = Σ C(n, k) aⁿ⁻ᵏ bᵏn: satır numarası (en üstteki satır 0’dır) · k: satırdaki konum, 0’dan n’e. Her satır 1 ile başlar ve biter.- 0. satır tek bir 1’dir.
- Her yeni satırın içindeki her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır; kenarlara 1 yazılır.
- n. satırın sayıları C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) binom katsayılarıdır ve (a + b)ⁿ açılımının katsayılarını verir.
- Açılımda a’nın üssü n’den 0’a azalır, b’nin üssü 0’dan n’e artar.
Örnek
4. satır 1, 4, 6, 4, 1’dir (3. satır 1, 3, 3, 1’den: 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6). Bu yüzden (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴. Satırın toplamı 2⁴ = 16’dır.
Sık sorulan sorular
(a − b)ⁿ nasıl açılır?
Aynı katsayılar kullanılır, işaretler sırayla değişir: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Katsayılı terimlerde, örneğin (2x + 3)³ için, C(3, k) katsayısı 2³⁻ᵏ ve 3ᵏ ile çarpılır: 8x³ + 36x² + 54x + 27.
Pascal üçgeninde Fibonacci sayıları nerede?
Üçgen sola yaslanınca, n. satırın başından başlayıp her adımda bir satır yukarı ve bir sütun sağa giden çaprazın toplamı F(n + 1)’dir. 5. satır için 1 + 4 + 3 = 8.
Bir satırda kaç tek sayı vardır?
n ikili tabanda yazıldığında içindeki 1 sayısı m ise satırda 2ᵐ tek sayı vardır (Lucas teoremi). 5 = 101₂ iki tane 1 içerir, bu yüzden 5. satırda 4 tek sayı vardır: 1, 5, 5, 1.