Permütasyon Hesaplama P(n, r)
Sıranın önemli olduğu dizilişleri sayın: n elemandan r’li sıralama, tekrarlı sıralama (şifre, PIN), tekrar eden harfli kelimelerin dizilişleri ve yuvarlak masa (dairesel) sıralaması. Sonuçlar tam sayıdır.
- Sırasız seçim C(n, r) = P ÷ r!10
- Tam permütasyon n!120
- Basamak sayısı2
Nasıl hesaplanır?
Permütasyon, elemanların sırasının önemli olduğu dizilişleri sayar: ABC ile CBA farklıdır. Sıra önemli değilse kombinasyon kullanılır ve P(n, r) = r! × C(n, r) olur. Tekrar eden harfli kelime soruları (ör. “MATEMATİK kelimesinin harfleriyle kaç farklı kelime yazılır?”) ve yuvarlak masa soruları okul sınavlarında sık çıkar; araç ikisini de doğrudan hesaplar.
P(n, r) = n! ÷ (n − r)! · Tekrarlı: nʳ · Kelime: n! ÷ (k₁! × k₂! × …) · Dairesel: (n − 1)!n: eleman sayısı · r: doldurulacak yer sayısı · k₁, k₂, …: her tekrar eden karakterin kaç kez geçtiği.- P(n, r): ilk yere n, ikinciye n − 1, … r. yere n − r + 1 seçenek vardır; bunlar çarpılır.
- Tekrarlıda her yere yine n seçenek kalır: n × n × … = nʳ.
- Kelimede bütün harflerin n! dizilişi, aynı harflerin kendi aralarında yer değiştirmesi (k!) kadar tekrar sayılmıştır; n! bu k!’lere bölünür.
- Dairesel sıralamada döndürmeler aynı sayıldığı için bir kişi sabitlenir ve kalan (n − 1) kişi sıralanır.
Örnek
5 koşucudan ilk üçün sıralaması: P(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60. 4 haneli bir PIN: 10⁴ = 10.000. ANKARA kelimesinde A üç kez geçer: 6! ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 farklı diziliş. 6 kişi yuvarlak bir masaya (6 − 1)! = 120 biçimde oturur.
Sık sorulan sorular
MATEMATİK kelimesinin harfleriyle kaç farklı kelime yazılır?
9 harf vardır; M, A ve T ikişer kez geçer. 9! ÷ (2! × 2! × 2!) = 362.880 ÷ 8 = 45.360. Anlamlı olması gerekmez, her farklı diziliş sayılır.
Tekrarlı permütasyon ne zaman kullanılır?
Aynı eleman birden çok yerde kullanılabildiğinde: 0–9 rakamlarıyla 4 haneli PIN 10⁴ = 10.000, 26 harfle 3 harfli kod 26³ = 17.576 farklıdır.
Dairesel permütasyonda neden (n − 1)! kullanılır?
Yuvarlak masada herkes bir sandalye kaydığında oturuş düzeni değişmez; n döndürme aynı sayılır, n! ÷ n = (n − 1)!. Kolye ya da anahtarlık gibi ters çevrilebilen dizilişlerde ayna görüntüleri de aynı sayılır ve sonuç ikiye bölünür.
P(n, 0) neden 1’dir?
Hiç yer doldurmamanın tek bir yolu vardır. Aynı nedenle 0! = 1’dir ve P(n, n) = n! olur.