Faktöriyel Hesaplama (n!)
Bir tam sayı girin; n! değerini 10.000’e kadar tam olarak, daha büyük sayılarda bilimsel gösterimle görün. Basamak sayısı, sondaki sıfırlar ve Stirling yaklaşımı da hesaplanır.
- Basamak sayısı7
- Sondaki sıfır sayısı2
- Rakamları toplamı27
- Bilimsel gösterim3,6288 × 10⁶
- Stirling yaklaşımı √(2πn)·(n/e)ⁿ3,5987 × 10⁶
- Stirling yaklaşımının hatası%0,83
Adım adım: 1!’den n!’e
Nasıl hesaplanır?
Faktöriyel, n farklı nesnenin kaç farklı sırayla dizilebileceğini sayar: 5 kişi bir sıraya 5! = 120 farklı biçimde dizilir. Permütasyon, kombinasyon ve olasılık hesaplarının temelidir. Çok hızlı büyür: 20! zaten 19 basamaklıdır, bu yüzden hesap makineleri ve tablolar 170!’den sonrasını gösteremez; bu araç tam sayı aritmetiğiyle bütün rakamları verir.
n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1 · 0! = 1n: 0 veya pozitif tam sayı. Sondaki sıfırlar (Legendre): ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + … · Stirling: n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ.- 1’den n’e kadar bütün tam sayılar çarpılır; 0! tanım gereği 1’dir.
- Sonuç tam sayı aritmetiğiyle (BigInt) hesaplanır, yuvarlama yapılmaz.
- Sonuç 15 basamaktan uzunsa bilimsel gösterimle özetlenir; bütün rakamlar tabloda 24’er basamaklık satırlarla verilir.
- 10.000’den büyük n için basamak sayısı ve bilimsel gösterim Stirling serisinden bulunur.
Örnek
10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3.628.800. Stirling yaklaşımı 3.598.695,6 verir, yani %0,83 eksik kalır. 100! ise 158 basamaklıdır, sonunda 24 sıfır vardır (100/5 + 100/25 = 24) ve rakamları toplamı 648’dir.
Sık sorulan sorular
0! neden 1’e eşittir?
Hiç nesne olmayan bir küme tek bir biçimde (hiçbir şey yapmadan) sıralanır. Ayrıca n! = n × (n − 1)! kuralı 1! = 1 × 0! ister; bu da 0! = 1 olmasını gerektirir.
100! kaç basamaklıdır, sonunda kaç sıfır vardır?
100! 158 basamaklıdır. Sondaki sıfırları 1–100 arasındaki 5 çarpanları belirler (2 çarpanı her zaman daha çoktur): 100/5 = 20 ve 100/25 = 4, toplam 24 sıfır.
Excel ya da hesap makinesi neden 171!’i hesaplayamıyor?
Bunlar ondalıklı (kayan noktalı) sayılarla çalışır ve en büyük değerleri yaklaşık 1,8 × 10³⁰⁸’dir; 171! bunu aşar. Ayrıca 15–17 basamaktan sonrasını yuvarlarlar. Bu araç tam sayı aritmetiği kullandığı için 10.000!’in 35.660 basamağının hepsini doğru verir.
Kesirli ya da negatif sayıların faktöriyeli var mı?
Faktöriyel yalnızca 0 ve pozitif tam sayılar için tanımlıdır. Kesirli sayılara gama fonksiyonuyla genişletilir (Γ(n + 1) = n!, örneğin Γ(1,5) = √π/2); negatif tam sayılarda gama fonksiyonu tanımsızdır.