Kombinasyon Hesaplama C(n, r)
n elemandan r tanesini sırasız kaç farklı biçimde seçebileceğinizi hesaplayın. Tekrarsız ve tekrarlı kombinasyon, tam değer (10.000 elemana kadar), sıralı seçim sayısı ve tek bir seçimin olasılığı.
- Basamak sayısı3
- Sıralı seçim P(n, r) = r! × C(n, r)720
- Tek bir seçimin olasılığı%0,833
10 elemandan k eleman seçme sayıları
Nasıl hesaplanır?
Kombinasyon, sıranın önemli olmadığı seçimleri sayar: {A, B, C} ile {C, B, A} aynı seçimdir. Sıranın önemli olduğu durumda (yarış sıralaması, şifre) permütasyon kullanılır; ikisi arasında P(n, r) = r! × C(n, r) ilişkisi vardır. C(n, r) değerleri Pascal üçgeninin n. satırını oluşturur ve (a + b)ⁿ açılımının katsayılarıdır.
C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!) · Tekrarlı: C(n + r − 1, r)n: toplam eleman sayısı · r: seçilen eleman sayısı. Tekrarsızda r ≤ n olmalıdır; tekrarlıda aynı eleman birden çok kez seçilebilir.- Tekrarsız seçimde n! ÷ (r! × (n − r)!) hesaplanır; pratikte n’den geriye r sayı çarpılıp r!’e bölünür.
- Tekrarlı seçimde aynı formül n + r − 1 eleman üzerinden uygulanır (“yıldızlar ve çubuklar” yöntemi).
- Bütün hesap tam sayı aritmetiğiyle yapılır; 15 basamaktan uzun sonuçlar bilimsel gösterimle özetlenir, rakamların tamamı tabloda verilir.
Örnek
10 kişiden 3 kişilik bir kurul: C(10, 3) = (10 × 9 × 8) ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120. 49 sayıdan 6’sını seçmenin C(49, 6) = 13.983.816 yolu vardır; tek bir kuponun tutma olasılığı %0,00000715’tir. 5 çeşit dondurmadan, aynı çeşit tekrar alınabilecek 3 top seçmek: C(7, 3) = 35.
Sık sorulan sorular
Kombinasyon ile permütasyon arasındaki fark nedir?
Kombinasyonda sıra önemsizdir, permütasyonda önemlidir. 10 kişiden 3 kişilik kurul C(10, 3) = 120, aynı 10 kişiden başkan, yardımcı ve sekreter seçmek P(10, 3) = 720 yoldur; her kurul 3! = 6 farklı görev dağılımıyla sayıldığı için fark 6 kattır.
C(n, r) neden C(n, n − r)’ye eşittir?
r elemanı seçmek, geride kalacak n − r elemanı seçmekle aynı şeydir. Bu yüzden C(10, 7) = C(10, 3) = 120’dir; hesap küçük olan üzerinden yapılır.
Tekrarlı kombinasyon ne zaman kullanılır?
Aynı türden birden çok seçilebildiğinde: 5 çeşitten 3 top dondurma, 4 renkten 10 bilye gibi. Formül C(n + r − 1, r)’dir; 5 çeşitten 3 top için C(7, 3) = 35.
C(0, 0) ve C(n, 0) neden 1’dir?
Hiçbir şey seçmemenin tek bir yolu vardır: boş seçim. r > n ise (tekrarsız) seçim yapılamaz ve C(n, r) = 0 kabul edilir; araç bu durumda uyarı verir.