Asal Çarpanlara Ayırma
Bir tam sayı girin; asal çarpanlarını üslü gösterimle, asal olup olmadığını, bölen sayısını ve bütün bölenlerini görün. 1 katrilyona (10¹⁵) kadar her sayı anında ayrılır.
- Asal mı?Hayır, bileşik
- Asal çarpan sayısı (tekrarlı)6
- Farklı asal çarpan3
- Bölen sayısı24
- Bölenlerin toplamı σ(n)1.170
- Euler φ(n)96
Adım adım bölme
Nasıl hesaplanır?
Aritmetiğin temel teoremine göre 1’den büyük her tam sayı asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılır. Bu ayrışım EBOB ve EKOK bulmayı, kesir sadeleştirmeyi ve kareköklü ifadeleri sadeleştirmeyi kolaylaştırır. Büyük sayıları çarpanlarına ayırmanın zorluğu RSA gibi şifreleme yöntemlerinin de temelidir.
n = p₁^e₁ × p₂^e₂ × … · Bölen sayısı = (e₁ + 1)(e₂ + 1)…p: asal çarpanlar (küçükten büyüğe) · e: her birinin üssü. Bölenlerin toplamı σ(n) = Π (1 + p + … + pᵉ), Euler φ(n) = Π pᵉ⁻¹(p − 1).- Sayı bölünebildiği sürece 2’ye, sonra 3’e, 5’e, 7’ye … bölünür; her başarılı bölme bir asal çarpan verir.
- Deneme böleni sayının kareköküne ulaşınca durulur: kalan 1’den büyükse o da asaldır.
- Çok büyük sayılarda 100.000’e kadar deneme bölmesinden sonra kalan kısım Miller–Rabin asallık testi ve Pollard rho yöntemiyle ayrılır; sonuç yine kesindir: ilk 12 asal sayıyla yapılan Miller–Rabin testi yaklaşık 3,19 × 10²³’ün altındaki her sayı için kesin sonuç verir (Sorenson ve Webster 2017).
- Aynı asal çarpanlar üslü gösterimde toplanır: 2 × 2 × 2 = 2³.
Örnek
360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1. Yani 360 = 2³ × 3² × 5. Bölen sayısı (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24, bölenlerin toplamı 15 × 13 × 6 = 1.170’tir.
Sık sorulan sorular
1 asal sayı mıdır?
Hayır. Asal sayının tam olarak iki böleni (1 ve kendisi) olmalıdır; 1’in yalnızca bir böleni vardır. 1 ne asal ne bileşiktir. En küçük asal sayı 2’dir ve tek çift asaldır.
Bir sayının asal olup olmadığını nasıl anlarım?
Karekökünden küçük ya da ona eşit hiçbir asal sayıya bölünmüyorsa asaldır. Örneğin 97 için √97 ≈ 9,8’dir; 2, 3, 5 ve 7’ye bölünmediği için 97 asaldır.
Bölen sayısı nasıl bulunur?
Üslü gösterimdeki her üssün bir fazlası çarpılır. 360 = 2³ × 3² × 5¹ için (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 bölen vardır. Tablodan “Bölenler” seçeneğiyle hepsini çiftler hâlinde görebilirsiniz.
Negatif sayılar ve 0 asal çarpanlarına ayrılır mı?
Asal çarpanlara ayırma pozitif tam sayılar için tanımlıdır. Negatif bir sayı −1 ile pozitif karşılığının çarpımı olarak yazılır (−360 = −1 × 2³ × 3² × 5); 0 ise her sayıya bölündüğü için ayrılamaz.
Kaynak
- Sorenson, J. ve Webster, J. (2017). Strong pseudoprimes to twelve prime bases. Mathematics of Computation 86, 985–1003
- OEIS A014233 — ilk n asal tabana göre güçlü sözde asal olan en küçük tek bileşik sayı
- Pollard, J. M. (1975). A Monte Carlo method for factorization. BIT 15, 331–334
- Rivest, Shamir ve Adleman (1978). A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems. CACM 21(2)
- OEIS A000040 — asal sayılar
- NIST DLMF §27.2 — asal sayılar ve aritmetik fonksiyonlar