Kök Alma Hesaplama: Karekök, Küpkök, n. Kök
Sayıyı ve kök derecesini girin; karekök, küpkök ya da n. kökü 10 ondalık basamakla bulun, kökün tam olup olmadığını ve sadeleştirilmiş hâlini (√72 = 6√2) görün.
- Üslü gösterim72^(1/2)
- Sadeleştirilmiş kök6√2
- Tam kök mü?Hayır, sonsuz ondalıklı (irrasyonel)
- Kontrol: kök²72
Nasıl hesaplanır?
Bir sayının n. kökü, n. kuvveti o sayıyı veren sayıdır: ∛27 = 3, çünkü 3³ = 27. Karekök (n = 2) ve küpkök (n = 3) en sık kullanılanlardır. Kök almak, 1/n kuvvetine yükseltmekle aynıdır. Tam kare ya da tam küp olmayan tam sayıların kökü irrasyoneldir: ondalık açılımı sonsuzdur ve tekrar etmez, bu yüzden sonuç 10 basamağa yuvarlanır. Kök sadeleştirmede sayının içindeki n. kuvvetler kök dışına çıkarılır; böylece √72 yerine 6√2 yazılır. Negatif sayıların tek dereceli kökü vardır (∛−27 = −3), çift dereceli kökü ise gerçek sayı değildir.
ⁿ√x = x^(1/n) · ⁿ√(kⁿ × m) = k × ⁿ√mx: kökü alınan sayı · n: kök derecesi (karekök 2, küpkök 3) · k: kök dışına çıkan çarpan · m: kökte kalan sayı.- Sayıyı asal çarpanlarına ayırın: 72 = 2³ × 3².
- n tane aynı çarpanın her grubu kökün dışına bir çarpan olarak çıkar: karekökte 2² → 2 ve 3² → 3, dışarıda 2 × 3 = 6.
- Gruba girmeyen çarpanlar kökte kalır: bir tane 2. Sonuç √72 = 6√2.
- Ondalık değer için 6 × √2 ≈ 6 × 1,4142135624 ≈ 8,4852813742.
Örnek
√72 = 6√2 ≈ 8,4852813742. ∛54 = ∛(3³ × 2) = 3∛2 ≈ 3,7797631497. ∜81 = 3, çünkü 3⁴ = 81. √0,25 = 0,5, çünkü 0,5 × 0,5 = 0,25.
Sık sorulan sorular
Negatif sayının karekökü var mı?
Gerçek sayılarda yoktur, çünkü hiçbir gerçek sayının karesi negatif değildir. Karmaşık sayılarda √−1 = i tanımlanır ve √−16 = 4i olur. Tek dereceli kökler ise negatif sayılarda da gerçektir: ∛−8 = −2.
√2 neden irrasyoneldir?
√2 = p/q (sadeleşmiş kesir) olsaydı p² = 2q² olurdu; bu p’nin, ardından q’nun da çift olmasını gerektirir ve kesrin sadeleşmiş olmasıyla çelişir. Bu yüzden √2 ≈ 1,4142135624… hiçbir kesirle tam yazılamaz.
Karekök elle nasıl hesaplanır?
Newton yöntemiyle: bir tahminle başlayın ve tahmini (tahmin + sayı ÷ tahmin) ÷ 2 ile yenileyin. √144 için 10’dan başlayınca 12,2 → 12,0016 → 12,0000001 çıkar; her adımda doğru basamak sayısı yaklaşık ikiye katlanır.
Tam kare sayılar hangileridir?
Bir tam sayının karesi olan sayılardır: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 … Bunların karekökü tam sayıdır; araç bu durumda “Tam kök: Evet” gösterir.
Köklü sayıyı sadeleştirmek ne işe yarar?
Köklü ifadeleri toplamak ve karşılaştırmak kolaylaşır: √50 + √18 = 5√2 + 3√2 = 8√2. Sınavlarda sonuç genellikle sadeleştirilmiş kök biçiminde istenir.