Standart Sapma Hesaplama
Verilerinizi girin; örneklem (s) ya da popülasyon (σ) standart sapmasını, varyansı, ortalamayı, medyanı, modu ve çeyrekleri adım adım hesaplayın. Aykırı değerler de işaretlenir.
- Veri sayısı (N)8
- Toplam (Σx)605
- Ortalama (x̄)75,625
- Medyan (ortanca)73,5
- Mod (tepe değer)Yok
- En küçük60
- En büyük95
- Açıklık35
- Alt çeyrek (Q1)67,5
- Üst çeyrek (Q3)84
- Çeyrekler açıklığı (Q3 − Q1)16,5
- Varyans (s²)135,6964
- Popülasyon standart sapması (σ)10,8965
- Değişim katsayısı%15,4
- Standart sapma (s)11,6489
Adım adım: ortalamadan sapmalar
Nasıl hesaplanır?
Standart sapma, değerlerin ortalama çevresinde ne kadar yayıldığını verinin kendi biriminde ölçer. Küçük standart sapma değerlerin ortalamaya yakın toplandığını, büyük olan geniş dağıldığını gösterir. Normal dağılımda verilerin yaklaşık %68’i ortalamanın ±1, %95’i ±2 standart sapma içindedir. Sınav notları, kalite kontrol ve yatırım riski (oynaklık) en yaygın kullanım alanlarıdır.
s = √(Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (N − 1)) · σ = √(Σ(xᵢ − μ)² ÷ N)xᵢ: her bir değer · x̄ (μ): aritmetik ortalama · N: veri sayısı. Örneklemde N − 1’e bölmek (Bessel düzeltmesi) popülasyon varyansının yansız tahminini verir.- Değerler toplanır ve veri sayısına bölünerek ortalama bulunur.
- Her değerden ortalama çıkarılır ve farkın karesi alınır.
- Kareler toplanır; popülasyonda N’e, örneklemde N − 1’e bölünerek varyans bulunur.
- Varyansın karekökü standart sapmadır.
- Çeyrekler için veriler sıralanır; ortancanın altında ve üstünde kalan yarıların ortancaları alt (Q1) ve üst (Q3) çeyrektir (tek sayıda veride ortanca yarılara katılmaz).
Örnek
4, 8, 6, 5, 3, 2, 8, 9, 2, 5: ortalama 52 ÷ 10 = 5,2. Sapma karelerinin toplamı 57,6’dır. Popülasyon varyansı 57,6 ÷ 10 = 5,76, σ = 2,4; örneklem varyansı 57,6 ÷ 9 = 6,4, s ≈ 2,5298. Sınıf notları 65, 72, 80, 88, 75, 60, 95, 70 için ortalama 75,625, medyan 73,5, s ≈ 11,6489, σ ≈ 10,8965.
Sık sorulan sorular
Örneklem mi popülasyon mu seçmeliyim?
Verileriniz ilgilendiğiniz grubun tamamıysa (bir sınıfın bütün notları) popülasyon (σ); daha büyük bir grubu temsil eden bir parçaysa (100 kişilik anket) örneklem (s) seçin. Emin değilseniz örneklem daha temkinlidir; Excel’de STDEV.S örneklemden tahmin eder, STDEV.P popülasyonun tamamı içindir.
Varyans ile standart sapma arasındaki fark nedir?
Varyans sapmaların karelerinin ortalamasıdır, birimi verinin biriminin karesidir (puan²). Standart sapma varyansın kareköküdür ve verinin kendi biriminde (puan) yorumlanabilir.
Çeyrekler neden Excel’den farklı çıkabilir?
Ders kitapları ve yazılımlar çeyrekleri en az bir düzine farklı yöntemle hesaplar (Langford 2006; Hyndman ve Fan 1996 dokuz örneklem nicelik tanımı sayar). Bu araç birçok istatistik ders kitabındaki “dışlayan” yöntemi kullanır: alt ve üst yarının ortancası, tek sayıda veride ortanca iki yarıya da katılmaz (Langford’un 2. yöntemi; Moore ve McCabe). Excel’in QUARTILE.INC işlevi ise PERCENTILE.INC gibi değerler arasında ara değer alır; az sayıda veride sonuçlar biraz farklı olabilir.
Aykırı değer nasıl belirleniyor?
Tukey kuralıyla: Q1 − 1,5 × IQR’nin altında ya da Q3 + 1,5 × IQR’nin üstünde kalan değerler aykırı sayılır (IQR = Q3 − Q1). Aykırı değerler ortalamayı ve standart sapmayı büyük ölçüde etkiler; medyan ve çeyrekler açıklığı daha dayanıklıdır.
Kaynak
- NIST/SEMATECH e-Handbook — yayılım ölçüleri
- NIST/SEMATECH e-Handbook — kutu grafiği ve çeyrekler
- Langford, E. (2006). Quartiles in Elementary Statistics. Journal of Statistics Education 14(3) — 2. yöntem (dışlayan)
- Hyndman, R. J. ve Fan, Y. (1996). Sample Quantiles in Statistical Packages. The American Statistician 50(4), 361–365
- Microsoft: QUARTILE.INC işlevi
- NIST/SEMATECH e-Handbook §7.1.6: aykırı değerler (iç çitler Q1 − 1,5 × IQ, Q3 + 1,5 × IQ)
- Microsoft: PERCENTILE.INC işlevi (ara değer alma)
- Microsoft: STDEV.S işlevi