EBOB ve EKOK Hesaplama
İki ya da daha fazla sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) bulun. Okulda öğretilen bölen tablosu, Öklid algoritması ve asal çarpan yöntemiyle adım adım.
- EKOK (en küçük ortak kat)180
- Aralarında asal mı?Hayır
Bölen tablosu (ortak bölme)
Nasıl hesaplanır?
EBOB, sayıların hepsini kalansız bölen en büyük sayıdır; kesirleri sadeleştirirken ve bir şeyi eşit parçalara ayırırken kullanılır. EKOK, hepsinin katı olan en küçük sayıdır; kesirleri ortak paydaya getirirken ve “iki olay en erken ne zaman yine birlikte olur?” sorularında kullanılır. İki sayının EBOB’u 1 ise aralarında asaldır.
EBOB = Π p^(en küçük üs) · EKOK = Π p^(en büyük üs) · EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × bp: sayılardan en az birinin asal çarpanı. EBOB’a yalnızca bütün sayılarda bulunan asallar, en küçük üsleriyle girer; EKOK’a hepsi en büyük üsleriyle girer.- Sayılar yan yana yazılır; hepsi 1 olana kadar, en az birini bölen en küçük asal sayıya bölünür (bölünemeyen aynen aşağı iner).
- Bir satırdaki asal bölen bütün sayıları bölüyorsa “ortak” işaretlenir.
- EBOB ortak bölenlerin, EKOK bütün bölenlerin çarpımıdır.
- Öklid algoritmasında büyük sayı küçüğe bölünür, bölen kalana bölünür; kalan sıfır olunca son bölen EBOB’dur.
Örnek
12, 18 ve 30: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5. Ortak asallar 2 ve 3 (en küçük üsleriyle): EBOB = 6. Bütün asallar en büyük üsleriyle: EKOK = 2² × 3² × 5 = 180. Öklid ile EBOB(48, 18): 48 = 2 × 18 + 12, 18 = 1 × 12 + 6, 12 = 2 × 6 + 0 → 6; EKOK = 48 × 18 ÷ 6 = 144.
Sık sorulan sorular
EBOB ile EKOK arasında nasıl bir ilişki var?
İki sayı için EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b’dir. Örneğin EBOB(48, 18) = 6 ise EKOK = 48 × 18 ÷ 6 = 144. Üç ya da daha fazla sayıda bu eşitlik genellikle geçerli değildir.
Kesirleri toplarken EKOK nasıl kullanılır?
Paydaların EKOK’u ortak payda olur: 1/4 + 1/6 için EKOK(4, 6) = 12, yani 3/12 + 2/12 = 5/12. Sonucu sadeleştirmek için pay ile paydanın EBOB’una bölünür.
Üç ya da daha fazla sayının EBOB’u nasıl bulunur?
İkişer ikişer: EBOB(a, b, c) = EBOB(EBOB(a, b), c). EKOK için de aynısı geçerlidir. Bölen tablosu ise bütün sayılarla tek seferde çalışır.
Aralarında asal sayılar ne demek?
1’den başka ortak böleni olmayan sayılardır (EBOB = 1); kendileri asal olmak zorunda değildir. 8 ve 15 aralarında asaldır; EKOK’ları çarpımlarına eşittir: 120.